Question

（2013•广州三模）设k∈R，函数f(x)=

1 x  (x＞0) ex(x≤0)

，F（x）=f（x）+kx，x∈R．
（1）当k=1时，求函数F（x）的值域；
（2）试讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）通过当x＞0，x≤0时，分段求函数F（x）的值域，最后综合即可；
（2）先求出F′（x），因为k的取值决定了F′（x）的正负，所以分四种情况讨论k的取值范围即可得到函数单调性即可．

解答：解：（1）F(x)=

1 x  +x(x＞0) ex+x(x≤0)

，
当x＞0时，F(x)=

1

x

+x≥2，即x=1时，F（x）最小值为2．
当x≤0时，F（x）=e^x+x，在（-∞，0）上单调递增，所以F（x）≤F（0）=1．
所以k=1时，F（x）的值域为（-∞，1]∪[2，+∞]．
（2）依题意得F′(x)=

k- 1 x2 (x＞0) ex+k(x≤0)

①若k=0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x≤0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
②若k＞0，当x＞0时，令F′（x）=0，解得x=

1 k

，
当0＜x＜

1 k

时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x＞

1 k

时，F′（x）＞0，F（x）递增．
当x＜0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
③若-1＜k＜0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减．
当x＜0时，解F′（x）=e^x+k=0得x=ln（-k），
当ln（-k）＜x＜0时，F′（x）＞0，F（x）递增，
当x＜ln（-k）时，F′（x）＜0，F（x）递减．
④k≤-1，对任意x≠0，F′（x）＜0，F（x）在（-∞，0），（0，+∞）上递减．
综上所述，当k＞0时，F（x）在（-∞，0]或(

1 k

，+∞)上单调递增，在(0，

1 k

)上单调递减；
当k=0时，F（x）在（-∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜k＜0时，F（x）在（ln（-k），0]上单调递增，在（-∞，ln（-k）），（0，+∞）上单调递减；
当k≤-1时，F（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减．

点评：本题考查函数的单调性的应用，利用导数研究函数的单调能力，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．