Question

已知函数f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a为常数，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间(

2

，2)上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x-x²）e^x，所以f'（x）=（2-x²）e^x，
令f′（x）=0，得x=±

2

，
当x∈(-∞，-

2

)时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
当x∈(-

2

，

2

)时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；
当x∈(

2

，+∞)时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
由上可知，x=-

2

是函数f（x）的极小值点，x=

2

是函数f（x）的极大值点．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函数f（x）在区间(

2

，2)上单调递减可知：f′（x）≤0对任意x∈(

2

，2)恒成立，
当a=0时，f′（x）=-2x，显然f'（x）≤0对任意x∈(

2

，2)恒成立；
当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因为x∈(

2

，2)，不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等价于x-

2

x

≥

2a2-2

a

令g（x）=x-

2

x

，x∈[

2

，2]
则g'（x）=1+

2

x2

，在[

2

，2]上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在[

2

，2]单调递增，
所以g（x）在[

2

，2]上的最小值为g(

2

)=0
由于f′（x）≤0对任意x∈(

2

，2)恒成立等价于x-

2

x

≥

2a2-2

a

对任意x∈(

2

，2)恒成立，
需且只需g（x）_min≥

2a2-2

a

，即0≥

2a2-2

a

，解得-1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．
综合上述，若函数f（x）在区间(

2

，2)上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．
若

a2-1

a

＞0，即a＞1时，由于函数h（x）的图象是连续不间断的，
假如h（x）≥0对任意x∈(

2

，2)恒成立，则有h(

2

)≥0，
解得-1≤a≤1，与a＞1矛盾，所以h（x）≥0不能对任意x∈(

2

，2)恒成立．
综上所述：若函数f（x）在区间(

2

，2)上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．