Question

【题目】设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明

理由；

（3）当时．证明： ．

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为， 的单调减区间为；（2）时， 无极值， 时， 有极大值,无极小值．

【解析】试题解析：

（1）求得导数，由不等式得增区间，由不等式得减区间；（2）求出导函数，确定的解及在解的两侧的正负，当时， ， 无零点，函数无极值点，当时， 在上有一解，且在此解的两侧， 的符号相反，因此有极值点，可得极值；（3）不等式即为，因此只要求得的最小值且大于2即可．本题最小值不能直接求得，只有用估计值，由得，从而有，可证其大于2．

试题解析：

（1） ．令，即，得，

故的增区间为；令，即，得，

故的减区间为；∴的单调增区间为， 的单调减区间为．

（2）

当时，恒有∴在上为增函数， 故在上无极值；

当时，令，得 单调递增，

单调递减．∴， 无极小值；

综上所述： 时， 无极值， 时， 有极大值,无极小值．

（Ⅲ）证明：设则即证，只要证

∵∴，

又在上单调递增

∴方程有唯一的实根，且．

∵当时， ．当时，

∴当时，

∵即，则 ∴

∴原命题得证.