Question

已知函数在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）设，且的解集为（-∞，1），求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（I）b=0；(II)（）；（Ⅲ） 。

【解析】

试题分析：（I）因为所以，因为f(x)在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，所以单x=0时，f(x)取得极小值，即=0，得到b=0；

(II)由（I）知因为1是函数f(x的一个零点，即f(1)=0，所以c=1-a。

又的两根分别为0，。在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，所以>1,即a>,f（2）=－8+4a+(1－a)=3a－7>,故的取值范围是（）。

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且．

∵1是函数的一个零点，∴，∵∴，

∴点是函数和函数的图像的一个交点．              10分

结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．

即方程组（１）只有一个解．     11分

由，得．

即．

即．

∴或．     12分

由方程， （２）

得．∵，

当，即，解得           13分

此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解．

所以时，的解集为．       14分

（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且．

∵1是函数的一个零点 

又的解集为，

.10分

                11分

               12分

   14分

考点：本题主要考查函数零点的概念，应用导数研究函数的单调性、极值及不等式中参数范围的确定，一元二次不等式的解法。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性、极值情况，确定得到待定系数b。根据函数零点情况，得到a的范围。（III）中解法较多，当转化成“恒成立问题”后，利用“<0”确定了a的范围。本题较难。