【题目】已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线相切.
(Ⅰ)求圆C1的标准方程;
(Ⅱ)设点A为圆上一动点,AN垂直于x轴于点N,若动点Q满足
(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当m=时,得到动点Q的轨迹为曲线C,与l1垂直的直线l与曲线C交于B,D两点,求△OBD面积的最大值.
【答案】(Ⅰ) 圆C1的方程为x2+y2=4;(Ⅱ) 点Q的轨迹方程为;(Ⅲ)
.
【解析】分析:(Ⅰ)由题意首先求得圆的半径为r=2,结合圆心坐标可得圆C1的方程为x2+y2=4.
(Ⅱ)设动点Q(x,y),A(x0,y0),由题意可得,则动点Q的轨迹方程为
.
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)的结论可知曲线C的方程为,联立直线方程与椭圆方程可得7x2-8bx+4b2-12=0.结合韦达定理和弦长公式可得面积函数为:
,则△OBD面积的最大值为
.
详解:(Ⅰ)设圆的半径为r,圆心到直线l1的距离为d,
则d==2.
因为r=d=2,圆心为坐标原点O,
所以圆C1的方程为x2+y2=4.
(Ⅱ)设动点Q(x,y),A(x0,y0),
∵AN⊥x轴于点N,∴N(x0,0),
由题意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),
解得即
将点A代入圆C1的方程x2+y2=4,
得动点Q的轨迹方程为+
=1.
(Ⅲ)当m=时,曲线C的方程为
+
=1,
设直线l的方程为y=-x+b,直线l与椭圆+
=1交点B(x1,y1),D(x2,y2),
联立方程得7x2-8bx+4b2-12=0.
因为Δ=48(7-b2)>0,
解得b2<7,且x1+x2=,x1x2=
.
又因为点O到直线l的距离d1=,
|BD|=·
=
.
所以S△OBD=·
·
=≤
,
当且仅当b2=7-b2,
即b2=<7时取到最大值.
所以△OBD面积的最大值为 .
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【题目】若正弦型函数有如下性质:最大值为4,最小值为
;相邻两条对称轴间的距离为
.
(1)求函数解析式;
(2)当时,求函数
的值域;
(3)若方程在区间
上有两个不同的实根,求实数
的取值范围.
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【题目】新生儿Apgar评分,即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估,主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分,满10分者为正常新生儿,评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息,评分在4分以下考虑患有重度窒息,大部分新生儿的评分多在7-10分之间,某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名,以下表格记录了他们的评分情况.
(1)现从16名新生儿中随机抽取3名,求至多有1名评分不低于9分的概率;
(2)以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据,若从本市本年度新生儿任选3名,记 表示抽到评分不低于9分的新生儿数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择;
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率为 .第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,获得奖金1000元;若未中奖,则所获奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元)的分布列;
(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,试比较哪个方案更划算?
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.
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【题目】五一期间,某商场决定从 种服装、
种家电、
种日用品中,选出
种商品进行促销活动.
(1)试求选出 种商品中至少有一种是家电的概率;
(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 元,规定购买该商品的顾客有
次抽奖的机会: 若中一次奖,则获得数额为
元的奖金;若中两次奖,则获得数额为
元的奖金;若中三次奖,则共获得数额为
元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是
,请问: 商场将奖金数额
最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
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