Question

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式；②由推导两角和的正弦公式
（Ⅱ）已知△ABC的面积 S=12， •=3，且 cosB=，求cosC．

Answer 1

（1）见解析；（2）－.

本试题主要是考查了三角函数关系式的运用，求解向量的数量积以及解三角形的综合运用。
解：法一：按教材证明
法二：①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P₁，
终边交⊙O于P₂；
角β的始边为OP₂，终边交⊙O于P₃；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P₄．
则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）
P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）
②由①易得cos（ π/2-α）=sinα，sin（ π/2-α）=cosα
sin（α+β）="cos[" π/2-（α+β）]=cos[（ π/2-α）+（-β）]
=cos（ π/2-α）cos（-β）-sin（ π/2-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）
（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S= bcsinA=            •=bccosA=3＞0
∴A∈（0，π），cosA=3sinA
又sin²A+cos²A=1，∴sinA= ，cosA=
由题意，cosB= ，得sinB=
∴cos（A+B）="cosAcosB-sinAsinB="
故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）="-" （12分）