Question

（满分14分）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：本题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力．
(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)．
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，因而
f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax²－(2＋4a)x＋3a. ①
由方程f(x)＋6a＝0，得ax²－(2＋4a)x＋9a＝0.②
∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]²－4a·9a＝0，即5a²－4a－1＝0.
解得a＝1或a＝－. 由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①得
f(x)的解析式为f(x)＝－x²－x－.
(2)由f(x)＝ax²－2(1＋2a)x＋3a＝a²－
及a<0，可得f(x)的最大值为－. 由
解得a<－2－或－2＋<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．

解析