Question

已知函数f(x)＝|2^x－1－1|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2^a＋2^c<4.

Answer 1

（1）

（2）见解析

(1)f(x)＝其图象如图所示．

(2)证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2^a<2，2^c≤2，所以2^a＋2^c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2^a－1>2^c－1－1，即2^c－1＋2^a－1<2，所以2^a＋2^c<4.
综上知，总有2^a＋2^c<4.