Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC的中点，∠C₁DC=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，证明

AB1

=2

DO

，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（II）确定平面BC₁D的一个法向量、平面BCC₁B₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-BC₁-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．
∵∠C₁DC=60°，∴CC₁=

3

则A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），A₁（1，0，

3

），
B₁（0，

3

，

3

），C₁（-1，0，

3

）
连结B₁C交BC₁于O，则O是B₁C的中点，连结DO，则O(-

1

2

，

3

2

，

3

2

)
∴

AB1

=(-1，

3

，

3

)，

DO

=(-

1

2

，

3

2

，

3

2

)，
∴

AB1

=2

DO

．
∵AB₁?平面BC₁D，DO?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．…（5分）
（Ⅱ）

DC1

=(-1，0，

3

)，

C1B

=(1，

3

，-

3

)．
设平面BC₁D的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n • DC1 =0 n • C1B =0

即

-x+ 3 z=0 x+ 3 y- 3 z=0

，则有y=0
令z=1，则

n

=（

3

，0，1），设平面BCC₁B₁的一个法向量是为

m

=（x'，y'，z'），

CC1

=(0，0，

3

)，

C1B

=(1，

3

，-

3

)，则

m • CC1 =0 m • C1B =0

即

3 z′=0 x′+ 3 y′- 3 z′=0

，∴z′=0．
令y'=-1，则

m

=（

3

，-1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

4

∴二面角D-BC₁-C的大小为arccos

3

4

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，确定平面的法向量 是关键．