Question

图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．AC，BD交于O点．

（1）二面角Q－BD－C的大小：

（2求二面角B－QD－C的大小．

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）二面角Q－BD－C等于90°．（Ⅱ）二面角B－QD－C等于60°．.

【解析】

试题分析：（1）因为PA⊥面ABCD，连QO，则QO∥PA,所以QO⊥面ABCD,从而可证得面QBD⊥面ABCD,所求二面角为直二面角.

（2）解本小题的关键是作出二面角的平面角.过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH，

CO⊥面QBD，CH在面QBD内的射影是OH，则∠OHC是二面角的平面角．然后解三角形即可.

Ⅰ）

解：连QO，则QO∥PA且QO＝PA＝AB

∵ PA⊥面ABCD

∴ QO⊥面ABCD

面QBD过QO，

∴ 面QBD⊥面ABCD

故二面角Q－BD－C等于90°．

（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．

∵ 面QBD⊥面BCD，

又∵ CO⊥BD

CO⊥面QBD

CH在面QBD内的射影是OH

∵ OH⊥QD

∴ CH⊥QD

于是∠OHC是二面角的平面角．

设正方形ABCD边长2，

则OQ＝1，OD＝，QD＝．

∵ OH·QD＝OQ·OD

∴ OH＝．

又OC＝

在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝

∴ ∠OHC＝60°

故二面角B－QD－C等于60°．.

考点：线线平行，线面垂直，面面垂直的判定与性质，二面角，三垂线定理.

点评：掌握线线，线面，面面垂直的判定与性质是解决好本题的前提，解第二问的关键是作出二面角的平面角，一般要考虑利用三垂线定理来做或（找）角，通过本题要认真体会这种方法.