Question

7．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥a}\\{x-y≤-1}\end{array}\right.$，且z=x+ay的最小值为7，则a=3．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，利用数形结合结合分类讨论建立方程关系即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：

联立 $\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a-1}{2}}\\{y=\frac{a+1}{2}}\end{array}\right.$，∴A（$\frac{a-1}{2}$，$\frac{a+1}{2}$）．
①当a=0时A为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），z=x+ay的最小值为-$\frac{1}{2}$，不满足题意；
②当a＜0时，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
要使z最小，则直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
③当a＞0时，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小．
此时z=$\frac{a-1}{2}$+a•$\frac{a+1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+2a-1}{2}$=7．
即a²+2a-15=0
解得：a=3或a=-5（舍）．
故答案为：3．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键是注意分类讨论，是中档题．