Question

15．定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$（a∈R）
（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，导入解析式求出a的值，利用换元法、二次函数的性质求出f（x）的最大值；
（2）利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的单调性求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数f（x），
∴f（0）=$\frac{1}{{4}^{0}}-\frac{a}{{2}^{0}}$=0，解得a=1，
则x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈$[\frac{1}{2}，1]$，
原函数为：y=t²-t=$（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
当t=1时，函数f（x）取到最大值为0，此时x=0；
（2）由题意知，当x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$，
设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈$[\frac{1}{2}，1]$，
原函数为：y=t²-at，对称轴是t=$\frac{a}{2}$，
∵f（x）是[0，1]上的增函数，∴$\frac{a}{2}$$≤\frac{1}{2}$，解得a≤1，
所以实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查函数的奇偶性，以及二次函数的性质，考查换元法、转化思想，属于中档题．