Question

6．已知log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥-log₂（3x-2），求y=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的值域和单调区间．

Answer 1

分析 根据对数不等式先求出x的取值范围，利用对数的运算法则进行化简，利用换元法转化为一元二次函数．利用一元二次函数的单调性的性质进行求解．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}＞0}\\{3x-2＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{x＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$即x＞$\frac{2}{3}$，则函数的定义域为（$\frac{2}{3}$，+∞），
由log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥-log₂（3x-2），得-log₂x²≥-log₂（3x-2），
即log₂x²≤log₂（3x-2），
即x²≤3x-2，
则x²-3x+2≤0，
解得1≤x≤2，
则y=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$=（log₂x-log₂4）（log₂x-log₂2）=（log₂x-2）（log₂x-1），
令t=log₂x，1≤x≤2
则0≤t≤1，
则函数等价为y=（t-2）（t-1）=t²-3t+2=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴函数在[0，1]上为减函数，
∴当t=0时，y=2，当t=1时，y=1-3+2=0，
即0≤y≤2．即函数的值域为[0，2]．
∵当1≤x≤2时，函数t=log₂x为增函数，此时函数y=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$为减函数，
∴函数y=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$在[1，2]上为减函数，即函数的单调递减区间为[1，2]．

点评 本题主要考查对数函数单调性和值域的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．