Question

【题目】在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣ ，0），B（ ），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ ． （Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y）， ∵点A（﹣ ，0），B（ ），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ ，
∴ ，
整理，得 ，x≠ ，
∴动点E的轨迹C的方程为 ，x ．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
将y=k（x﹣1）代入 ，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
△=8k2+8＞0，
设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则 ，x1x2= ，
设MN的中点为Q，则 ， ，
∴Q（ ，﹣ ），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+ =﹣ ，
令x=0，得yP= ，
当k＞0时，∵2k+ ，∴0＜ ；
当k＜0时，因为2k+ ≤﹣2 ，所以0＞yP≥﹣ =﹣ ．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣ ]
【解析】（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣ ，0），B（ ），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ ，知 ，由此能求出动点E的轨迹C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入 ，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+ =﹣ ，由此能求出点P纵坐标的取值范围．