Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；
（2）已知不等式f（logm ）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义域为R上的奇函数，

∴f（0）=0，

∴ =0，

解得a=1，

∴f（x）= =﹣1+ ，

∵y=2x是R上的增函数，

∴f（x）在R上为减函数，

（2）解：∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（logm ）+f（﹣1）＞0

等价于f（logm ）＞﹣f（﹣1）=f（1），

又∵f（x）是R上的减函数，

∴logm =logmm，

∴当0＜m＜1时， ＞m，即0＜m＜ ；

当m＞1时， ＜m，即m＞1；

综上，m的取值范围是m∈（0， ）∪（1，+∞）．

【解析】（1）由奇函数的性质得f（0）=0恒成立，求出a的值，再判断函数的单调性即可．（2）根据奇函数的性质将不等式转化为：f（logm ）＞﹣f（﹣1）=f（1），再由函数的单调性得logm ＜1，利用对数的单调性对m进行分类讨论，再求出实数m的取值范围．