Question

设集合函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域为A，集合B为函数y=x+

1

x+1

（x＞-1）的值域，集合C为不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆?_RA，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过对数函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解A与B的交集．
（2）求出A的补集，利用C⊆?_RA，通过a的范围，讨论不等式的解集，求出a的范围即可．

解答：解：（1）∵-x²-2x+8＞0，
∴解得A=（-4，2）．
∵y=x+

1

x+1

=x+1+

1

x+1

-1，∵x＞-1，∴x+1+

1

x+1

-1≥1．
∴B=[1，+∞）；
所以A∩B=[1，2）；
（2）∵C_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），C⊆C_RA，
若a＜0，不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是（-∞，-4]∪[-

1

a

，+∞），故定有-

1

a

≥2得0＞a≥-

1

2

．
若a＞0，则不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是∅，否则不满足题意．
若a=0，不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是（-∞，-4]，满足题意，所以a=0成立．
∴a的范围为0≥a≥-

1

2

．

点评：本题主要考查了集合的交并补混合运算，较为简单，关键是将各集合的元素计算出来．考查分类讨论思想．