Question

设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有成立．
（1）求实数a和b的值；
（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；
（3）若两相异实数x₁、x₂∈（0，π），且满足f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）的值．

Answer 1

解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx= sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（ ）=4恒成立，
∴ =4，即a²+b²=16．…①
∵f（x）的最小正周期为π， ∴ω= =2，
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）_max=f（ ）=4， ∴asin +bcos =4，即a+ b=8．…②
由①、②解得a=2，b=2 ．
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2 cos2x=4sin（2x+ ）．
∵0＜x＜π，
∴ ＜2x+ ＜ ，
列表如下：

∴函数f（x）的图象如图所示：

 
（3）∵f（x₁）=f（x₂），由（2）知，当0＜x₁＜x₂＜ 时，x₁+x₂=2× = ，
∴f（x₁+x₂）=f（ ）=4 =2 ；
当 ＜x₁＜x₂＜π时，x₁+x₂=2× = ，
∴f（x₁+x₂）=f（ ）=4sin =2 ；
综上，f（x₁+x₂）=2 ．