Question

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：；
（3）若已知，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{d_n}的前n项和为B_n，试比较A_n与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），故=，从而能求出数列{x_n}的通项公式．
（2）由，知，当n≥2时，，故T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤．由此能够证明；
（3）由a_n=x_n+1-x_n=n，知，由，知，故，由此能够比较A_n与的大小．
解答：解：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），
∴=，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=．
（2）∵，
∴，…（5分）
∴当n≥2时，，
∴T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤=，（当n=1时取“=”）．…（8分）
（3）∵a_n=x_n+1-x_n=n，
∴，
由，
知，
∴，
而d₁=2，
∴，
于是
=．
∴．…（10分）
当n=1，2时 ；
当n=3时，
当n≥4时，
下面证明：当n≥4时，
证法一：（利用组合恒等式放缩）
当n≥4时，=，
∴当n≥4时，…（13分）
证法二：（函数法）∵n≥4时，2ⁿ-2
构造函数，[h'（x）]'=h''（x）=1-2^xln²2
∴当x∈[4，+∞）时，h''（x）=1-2^xln²2＜0
∴h'（x）=x-2^xln2在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，
∴在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，
从而n≥4时，，即2ⁿ-2，
∴当n≥4时，．
点评：本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，放缩法的应用和构造法的应用．