Question

6．已知函数f（x）=x²-2|x|+1，g（x）=-x²+bx+b-5，若g（f（x））=0恰好有5个不同的解，则g（x）≤0的解集为（-∞，1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用换元法，结合一元二次函数的图象和性质，求出b的值，结合一元二次不等式的解法进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），
则当t=0或t＞1时，t=f（x）有两个不同的根，
当t=1时，t=f（x）有3个不同的根，
若g（f（x））=0恰好有5个不同的解，
则等价为g（t）=0有两个不同的根，其中一根为t=1，
即g（1）=-1+b+b-5=2b-6=0，
得b=3，
此时g（x）=-x²+3x-2，
由g（x）≤0得-x²+3x-2≤0，
即x²-3x+2≥0，
解得x≥2或x≤1，
即不等式的解集为（-∞，1]∪[2，+∞），
故答案为：（-∞，1]∪[2，+∞）

点评 本题主要考查根的存在性的应用，利用换元法结合一元二次函数的性质，一元二次不等式的解法是解决本题的关键．注意要利用数形结合．