Question

11．已知数列{a_n}，S_n是其前n项和，满足${S_n}+{S_{n+1}}=2{n^2}+b$，a₁=a．
（1）若a=b=1，
（i）求出a₂，a₃的值；
（ii）求{a_n}的通项公式．
（2）是否存在一个各项均为正数的等比数列{b_n}，存在一个数列{a_n}满足a_n=lnb_n，如果存在，求出{a_n}和{b_n}的通项公式，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）（i）由已知数列递推式结合a=b=1求得a₂，a₃的值；
（ii）把已知数列递推式变形为$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+1$，当n≥2时，$2{S_{n-1}}+{a_n}=2{（{n-1}）^2}+1$，两式作差可得a_n+a_n+1=4n-2，进一步得到a_n+2-a_n=4．然后分n为偶数和n为奇数求得数列通项公式；
（2）假设存在这样的{a_n}和{b_n}，结合$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+b$，a₁=a，求得a₂，a₃，a₄，由e^a，e^2+b-2a，e^2a+4-b，e^6+2b-a成等比，列式解得a=0，b=0．然后验证a=0，b=0时，数列{b_n}为等比数列，并进一步求得数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）（i）由题可得${a_1}+{a_1}+{a_2}=2×{1^2}+1$，∴a₂=1，
${a_1}+{a_2}+{a_1}+{a_2}+{a_3}=2×{2^2}+1$，∴a₃=5；
（ii）由题意，即$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+1$，
当n≥2时，$2{S_{n-1}}+{a_n}=2{（{n-1}）^2}+1$，作差可得2a_n+a_n+1-a_n=4n-2，
即a_n+a_n+1=4n-2，∴a_n+1+a_n+2=4（n+1）-2．
作差可得a_n+2-a_n=4．
当n为偶数时，${a_n}={a_2}+4×（{\frac{n-2}{2}+1-1}）=2n-3$；
当为奇数时，${a_n}={a_3}+4×（{\frac{n-3}{2}+1-1}）=2n-1$．
经检验，n=1也符合．
综上，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n-1，n=2k-1}\\{2n-3，n=2k}\end{array}}\right.，k∈{N^*}$；
（2）假设存在这样的{a_n}和{b_n}，那么$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+b$，
∵a₁=a，2a₁+a₂=2+b，∴a₂=2+b-2a，S₂=2+b-a，
∴2S₂+a₃=8+b，a₃=2a+4-b，S₃=a+6，
∴2S₃+a₄=18+b，∴a₄=6+2b-a，
∴e^a，e^2+b-2a，e^2a+4-b，e^6+2b-a成等比，可得
e^a•e^2a+4-b=（e^2+b-2a）²，e^2+b-2a•e^6+2b-a=（e^2a+4-b）²．
即$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+4-b=2（2+b-2a）}\\{2+b-2a+6+2b-a=2（2a+4-b）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$．
下面检验当a=0，b=0时，数列{b_n}为等比数列．
由题得a₁=0，${S_n}+{S_{n+1}}=2{n^2}$，
当n≥2时，
∴${S_{n-1}}+{S_n}=2{（{n-1}）^2}$，
作差可得a_n+a_n+1=4n-2，
a₂=2-2S₁=2，显然n=1时也符合上式．
∴a_n+2+a_n+1=4n+2，可得a_n+2-a_n=4．
当n为偶数时，${a_n}={a_2}+（{\frac{n-2}{2}+1-1}）×4=2+2n-4=2n-2$，
当n为奇数时，${a_n}={a_1}+（{\frac{n-1}{2}+1-1}）×4=2n-2$．
∴a_n=2n-2
那么${b_n}={e^{a_n}}={e^{2n-2}}$，$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{e^{2n}}}}{{{e^{2n-2}}}}={e^2}$是等比数列，
∴存在这样的等比数列{b_n}和数列{a_n}，使得等式成立，
${a}_{n}=2n-2，{b}_{n}={e}^{2n-2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力和推理论证能力，属难题．