Question

1．如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=2a．
（1）求证：平面SAB⊥平面SAD；
（2）设SB的中点为M，当$\frac{CD}{AB}$为何值时，能使DM⊥MC？请给出证明．

Answer 1

分析 （1）由已知得平面ABCD⊥平面PMN，从而PD⊥AB，进而AB⊥平面PAD．由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）连结BD，设CD中点为N，连结BN，且DN=AB，BN∥AD，BN⊥CD，由已知得CB⊥BD，PD⊥BC，BC⊥平面PBD．由此能证明DM⊥MC．

解答 证明：（1）∵∠BAD=90°，∴AB⊥CD．
又SD⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面SMN，
∴SD⊥AB．
∵SD∩AD=D，
∴AB⊥平面SAD．
又AB?平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．
（2）$\frac{CD}{AB}$=2，能使DM⊥MC．
连结BD，∵∠BAD=90°，AB=AD=a，
∴BD=$\sqrt{2}$a，∴SD=BD，∠BDA=45°．
又M为SB中点，∴DM⊥SB…①．
设CD中点为N，连结BN，且DN=AB，
∴BN∥AD，BN⊥CD．∵CD=2AB，AB=AD，
∴CN=BN，即∠CBN=45°，
∴∠CBD=90°，CB⊥BD，
SD⊥平面ABCD，SD⊥BC，
∵SD∩BD=D，∴BC⊥平面SBD．
∵DM⊆平面PBD，∴BC⊥DM…②
由①②，∵PB∩BC=B，∴DM⊥平面PBC，
而CM?平面SBC，∴DM⊥MC．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．