Question

（2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称	贝贝	晶晶	欢欢	迎迎	妮妮
数量	1	2	3	1	1

从中随机地选取5只．
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从8只吉祥物中选5只，满足条件的事件是选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”，共有C₂¹C₃¹种结果，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）ξ表示所得的分数，则ξ的取值为100，80，60，40．结合变量对应的事件，根据古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到变量的分布列和期望．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从8只吉祥物中选5只，共有C₈⁵种结果，
满足条件的事件是选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”，共有C₂¹C₃¹种结果
∴选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P=

C 1 2 • C 1 3

C 5 8

=

6

56

=

3

28

．
（2）由题意知ξ表示所得的分数，则ξ的取值为100，80，60，40．
根据古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到
P(ξ=100)=

C 1 2 • C 1 3

C 5 8

=

3

28

；
P(ξ=80)=

C 2 3 ( C 2 2 • C 1 3 + C 1 2 • C 2 3 )+ C 3 3 •( C 2 2 + C 2 3 )

C 5 8

=

31

56

；P(ξ=60)=

C 1 3 ( C 2 2 • C 2 3 + C 1 2 • C 3 3 )+ C 2 3 • C 3 3

C 5 8

=

18

56

=

9

28

；
P(ξ=40)=

C 2 2 • C 3 3

C 5 8

=

1

56

．
∴ξ的分布列为

∴Eξ=

300

28

+

2480

56

+

540

28

+

40

56

=75．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查对于实际问题的理解能力，是一个综合题目，这种题目一般是一个送分题目．