Question

已知函数f(x)=m-

2

2x+1

是R上的奇函数，
（1）求m的值；
（2）先判断f（x）的单调性，再证明之．

Answer 1

分析：（1）特值法：利用R上的奇函数满足f（0）=0，即可求得m值．
（2）利用函数单调性的定义．

解答：解：（1）因为函数f(x)=m-

2

2x+1

是R上的奇函数，故有f（0）=0，即m-

2

20+1

=0，
解得m=1．
（2）f（x）在R上单调递增，以下证明之：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=-

2

2x2+1

+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x2＞x1∴2x2＞2x1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，准确理解相关定义是解决本题的基础．