Question

已知函数f(x)=

m•3x-1

3x+1

是定义在实数集R上的奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若x满足不等式4x+

1

2

-5•2x+1+8≤0，求此时f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于 函数f(x)=

m•3x-1

3x+1

是定义在实数集R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），构造方程，可求m值；
（2）由（1）可得函数的解析式，解不等式4x+

1

2

-5•2x+1+8≤0，可得函数的定义域，利用分析法可求出f（x）的值域

解答：解：（1）由题

m•3-x-1

3-x+1

=-

m•3x-1

3x+1

，即

m-3x

1+3x

=-

m•3x-1

3x+1

，故（m-1）•3^x+（m-1）=0，从而m=1；
（2）由4x+

1

2

-5•2x+1+8≤0得2•（2^x）²-10•2^x+8≤0，即（2^x-1）（2^x-4）≤0，故1≤2^x≤4，得0≤x≤2．因为f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，而1≤3^x≤9，故f(x)∈[0，

4

5

]．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性，指数不等式的解法，函数的值域，（1）的关键是熟练掌握函数奇偶性的性质，（2）的关键是解指数不等式，求出函数的定义域．