Question

【题目】已知定义在[0，1]上的函数满足：①f（0）=f（1）=0，②对于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．若当所有的x，y∈[0，1]时，|f（x）﹣f（y）|＜k，则k的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|m| ，

依题意，m＞0，构造函数f（x）= ，满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．

当x∈[0， ]，且y∈[0， ]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| |=k× ，

当x∈[0， ]，且y∈[ ，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+ ）﹣k|=k× ，

当x∈[ ，1]，且y∈[0， ]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）| ，

当x∈[ ，1]，且y∈[ ，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣ ）= ．

综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）| ，

∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜k恒成立，

∴k≥ ，

即k的最小值为 ．

故答案为： ．

构造函数，分情况讨论，求出恒成立时满足的条件，可得k的取值。