Question

已知双曲线方程，椭圆方程，A、D分别是双曲线和椭圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由双曲线方程，可求，根据|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列，可得，根据D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），将y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，可求P的坐标；设Q（x，0），x≠-2，若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP，从而有，进而可知存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．
解答：解：（Ⅰ）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，双曲线方程，
∴
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．
∴
∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，
∴
∴
∴所求椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵MC⊥CE，∴M（2，4k）
将y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
∵
∴
∴
∴P（）
设Q（x，0），x≠-2
若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP
∴
∵，
∴=0
∴
∴x=0
∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．
点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是将两直线与椭圆方程联立，将向量关系转化为坐标关系．