Question

已知双曲线方程，椭圆方程，A、D分别是双曲线和椭圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，
|OC|，|OD|成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，
双曲线方程，
∴
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．
∴
∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，
∴
∴
∴所求椭圆的方程为；
（2）由（1）知，C（2，0），E（﹣2，0），
设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（，）
∵MC⊥CE，
∴M（2，4k）
将y=k（x+2）代入
整理得（1+2k2）+8k²x+8k²﹣4=0
∵
∴
∴
∴P（）
设Q（，0），≠﹣2
若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP
∴
∵，
∴=0
∴
∴=0
∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．