Question

如图所示的几何体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥，其中AB=2，BC=3，AA₁=2，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

2

，
（Ⅰ）在棱BB₁（含端点）上能否找到一点M，使得PC∥平面ADM，并请说明理由；
（Ⅱ）求该几何体的表面积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设B₁M=t，则0≤t≤2，以D₁为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M点与B₁重合时，PC∥平面ADM．
（Ⅱ）由该几何体的表面积S=S四边形A1B1C1D1+2S 四边形AA1D1D+2S 四边形AA1B1B+2S_△PBC+S_△PAB+S_△PDC，能求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）设B₁M=t，则0≤t≤2，以D₁为原点，建立空间直角坐标系，
由题意知．D（0，0，2），M（3，2，t），B（3，2，2），
C（0，2，2），P（0，1，3），A（3，0，2），
∴

DM

=（3，2，t-2），

PC

=(0，1，-1)，

DA

=（3，0，0），
设平面ADM的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • DM =3x+2y+(t-2)z=0 m • DA =3x=0

，取y=1，得

m

=（0，1，

2

2-t

），
∵PC∥平面ADM，
∴

PC

•

m

=1-

2

2-t

=0，解得t=0，
∴M点与B₁重合时，PC∥平面ADM．
（Ⅱ）∵

AB

=(0，2，0)，

AP

=（-3，1，1），
∴P到AB的距离d₁=|

AP

|

1-cos2＜ AP ， AB ＞

=

11

•

1- 1 11

=

10

，
∵

BC

=（-3，0，0），

BP

=（-3，-1，1），
∴P到BC的距离d₂=|

BP

|

1-cos2＜ BP ， BC ＞

=

11

•

1- 9 11

=

2

．
∴该几何体的表面积：
S=S四边形A1B1C1D1+2S 四边形AA1D1D+2S 四边形AA1B1B+2S_△PBC+S_△PAB+S_△PDC
=3×2+2×2×2+2×3×2+2×

1

2

×3×

2

+

1

2

×2×

10

+

1

2

×2×1
=3

2

+

10

+27．

点评：本题考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查几何体的表面积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．