Question

【题目】在四棱柱 中，底面 为矩形，面 ⊥平面 ， = = = ， =2， 是 的中点．
（Ⅰ）求证： ⊥ ；
（Ⅱ）求BD与平面 所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∵PD=PC，E为CD的中点，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC，
在Rt 中， ， ,
∴ ，
∴ , ,
∴ ，
∴BE⊥CA，
∵BE PE=E，
∴AC⊥平面PBE，
∴AC⊥PB；
（Ⅱ）以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则 P（0,0,1），C（1,0,0）， D(-1,0,0)
， 则 , ,
设平面PAB的法向量为 ，则 ，取 ，则 ， ，∴ .
设 BD 与平面PAB 所成角为 ，
则
∴BD 与平面PAB 所成角的正弦值为 .

【解析】（1）证AC垂直面PBC即可得到AC垂直PB；
（2）建立空间坐标系，找到BD的方向向量、平面PAB的法向量，然后算出夹角.