Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．
（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；
（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；
（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，函数f（x）=x2﹣4x，

∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，

解得 ，

∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）

（2）解：∵a＞0时，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，

∴当﹣a2＜﹣5，即a＞ 时，

要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，

要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，

即M（a）=a﹣ ；

当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤ 时，

要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，

要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，

即M（a）=a+ ；

综上，M（a）=

（3）解：f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0．

①若t=0，则a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，

当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，a=﹣2不合题意，舍去

当f（2）=4﹣4a=﹣4时，a=2，

②若t+2=2a，则a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，

当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，若a=2，t=2，符合题意；

若a=﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去

当f（2a﹣2）=﹣4时，a=2，t=2

综上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合题意

【解析】（1）a=2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M（a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0，分类讨论，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．