Question

【题目】已知函数F（x）= ，（a为实数）．
（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数F（x）= 定义域为R，

且F（﹣x）= = ，

① 若y=f（x）是偶函数，则对任意的x 都有f（x）=f（﹣x），

即 = ，即2x（a+1）=a+1，

解可得a=﹣1；

②若y=f（x）是奇函数，则对任意的x 都有f（x）=﹣f（﹣x），

即 =﹣ ，即2x（a﹣1）=1﹣a，

解可得a=1；

故当a=﹣1时，y=f（x）是偶函数，

当a=1时，y=f（x）是奇函数，

当a≠±1时，y=f（x）既非偶函数也非奇函数

（2）解：由f（x）≥1可得：2x+1≤a2x﹣1，即 ≤a﹣1

∵当x≥1时，函数y1= 单调递减，其最大值为1，

则必有a≥2，

同理，由f（x）≤3 可得：a2x﹣1≤32x+3，即a﹣3≤ ，

∵当x≥1时，y2= 单调递减，且无限趋近于0，

故a≤3，

综合可得：2≤a≤3

【解析】（1）、根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F（﹣x）的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f（x）是偶函数，②若y=f（x）是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；（2）根据题意，由f（x）的范围，分2种情况进行讨论：f（x）≥1以及f（x）≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案．