Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 证明：x1x22＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=lnx﹣x的定义域为（0，+∞）

令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1

所以函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）

（2）解：由（1）可设f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，满足lnx﹣x﹣m=0

且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0

由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2

又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）递减

故x2＞2

令g（x）=lnx﹣x﹣m

g（x1）﹣g（ ）=﹣x2+ +3lnx2﹣ln2

令h（t）= +3lnt﹣ln2（t＞2），

则h′（t）=﹣ ．

当t＞2时，h′（t）＜0，h（t）是减函数，所以h（t）＜h（2）=2ln2﹣ ＜0．

所以当x2＞2 时，g（x1）﹣g（ ）＜0，即g（x1）＜g（ ）

因为g（x）在（0，1）上单调递增，

所以x1＜ ，故x1x22＜2．

综上所述：x1x22＜2

【解析】（1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；（2）证明x2＞2，构造g（x）=lnx﹣x﹣m，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．