Question

【题目】已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的 倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的标准方程为： （a＞b＞0），

由题意可知：2a= 2b，即a= b，

由c=1，则a2=b2+c2=b2+1，

代入求得：a2=2，b2=1，

椭圆C的方程为：

（2）解：存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点

证明：由OFA+∠OFB=180°，则B关于x轴的对称点B1在直线AF上．

设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2

设直线AF方程：y=k（x+1），代入 ，

得：（k2+ ）x2+2k2x+k2﹣1=0，…（13分）

由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由直线AB的斜率kAB=

AB的方程：y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，得：x1﹣y1 ，

y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

x= = = = =﹣2，

∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．

【解析】（1）由题意可知设椭圆的标准方程为： （a＞b＞0），2a= 2b，即a= b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得椭圆C的标准方程；（2）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入由x= = ，此能证明直线l总经过定点M（﹣2，0）．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．