Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．

（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，

∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．

∴PD⊥PF，PD⊥PE，

∵PE∩PF=P，PE、PF平面PEF．

∴PD⊥平面PEF．

又∵EF平面PEF，

∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，

∴EF⊥平面PBD，

又EF平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE

（2）解：连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

设在正方形ABCD的边长为2，则DO= ， = ，PE=PF=1，PO= = ，

∴P（0，0， ），D（0， ，0），E（﹣ ，0，0），F（ ，0，0），

=（﹣ ，﹣ ，0）， =（0，﹣ ， ）， =（ ，﹣ ，0），

设平面PDE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取y=1，则 =（﹣3， ，3），

平面DEF的法向量 =（0，0，1），

设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．