Question

已知函数，对于区间上的任意实数x₁、x₂，有如下条件：
①x₁＞x₂；②；③|x₁|＞x₂；④x₁+x₂＜0；⑤x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＜f（x₂）恒成立的条件序号是________．（写出所有正确条件的序号）

Answer 1

②⑤
分析：先判断函数为偶函数，再考虑函数在上的单调性，然后利用单调性的定义验证正确的条件，列举反例判断不正确的条件即可
解答：函数的定义域为，
∴函数是偶函数
∴可先考虑函数在上的单调性

=
当时，sinx≥0，cosx≥0，∴f′（x）＜0
∴函数在上的单调减
若x₁＞x₂，取，，∴，∴f（x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），∴①不正确；
若，x₁、x₂∈，∴≥|x₁|＞|x₂|≥0，∴f（x₁）＜f（x₂）恒成立，∴②正确；
若|x₁|＞x₂，则取，，∴，∴f（-x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），∴③不正确；
若x₁+x₂＜0，取，，∴，∴f（x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），可知④不正确
若x₁＞|x₂|，区间上的任意实数x₁、x₂，即x₁＞x₂，且x₁，x₂∈，，∴f（x₁）＜f（x₂）恒成立，∴⑤正确；
故答案为：②⑤
点评：本题以具体函数为载体，考查函数的性质，考查结论成立的条件，是个开放式的命题，对学生的理解判断能力要求比较高．