Question

（2012•海淀区一模）已知函数f(x)=e-kx(x2+x-

1

k

)(k＜0)．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得函数f（x）的极大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f'（x））=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），令f'（x）=0，解得：x=-1或x=

2

k

．按两根-1，

2

k

的大小关系分三种情况讨论即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分情况求出函数f（x）的极大值，令其为3e^-2，然后解k即可，注意k的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，
f′(x)=-ke-kx(x2+x-

1

k

)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]，即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或x=

2

k

．
①当k=-2时，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，
故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
②当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	(-∞， 2 k )	2 k	( 2 k ，-1)	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是(-∞，

2

k

)和（-1，+∞），单调递减区间是(

2

k

，-1)．
③当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 2 k )	2 k	( 2 k ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和(

2

k

，+∞)，单调递减区间是(-1，

2

k

)．
综上，当k=-2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；当-2＜k＜0时，f（x）的单调递增区间是(-∞，

2

k

)和（-1，+∞），单调递减区间是(

2

k

，-1)；
当k＜-2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和(

2

k

，+∞)，单调递减区间是(-1，

2

k

)．
（Ⅱ） ①当k=-2时，f（x）无极大值．
②当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为f(

2

k

)=e-2(

4

k2

+

1

k

)，
令e-2(

4

k2

+

1

k

)=3e-2，即

4

k2

+

1

k

=3，解得 k=-1或k=

4

3

（舍）．
③当k＜-2时，f（x）的极大值为f(-1)=-

ek

k

．
因为 e^k＜e^-2，0＜-

1

k

＜

1

2

，所以 -

ek

k

＜

1

2

e-2．
因为 

1

2

e-2＜3e-2，所以 f（x）的极大值不可能等于3e^-2，
综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数极值问题，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力，属中档题．