Question

【题目】已知椭圆的离心率，且椭圆过点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，其定值为.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，根据题意得出关于、、的方程组，求出和的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线轴时，可得出直线的方程为，可求出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程得出，计算出以及原点到直线的距离，通过化简计算可得出四边形的面积为，进而得证.

（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或.

若直线的方程为，联立，可得，

此时，，四边形的面积为，

同理，当直线的方程为时，可求得四边形的面积也为；

当直线的斜率存在时，设直线方程是，

代人到，得，

，，，

，

，

点到直线的距离，

由，得，，

点在椭圆上，所以有，整理得，

由题意知，四边形为平行四边形，

平行四边形的面积为.

故四边形的面积是定值，其定值为.