Question

【题目】动圆与相外切，与相内切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）是动圆的半径最小时的圆，倾斜角为且过点的直线l与相切，与轨迹交于，两点，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据动圆与 外切，与内切，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆；

（2）由（1）知：要使半径最小，则最小，易知，

则可设直线方程为，根据直线与圆相切求出参数的值，即可得到直线方程，最后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算可得.

解：（1）设动圆的半径为，则由题可知：，

∴，

由椭圆定义可知点的轨迹是以，为焦点，

长轴为6的椭圆，，

，，

的轨迹方程为：

（2）由（1）知：要使半径最小，

则最小，易知

由于，，圆的方程为：

又由题可得直线的方程为：，即

到直线的距离为：，或（舍去）

∴直线的方程为：，联立椭圆方程：消去整理得：

，设，

则，，

∴．