Question

【题目】已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，.对于函数，若存在且，使得，则称函数是“和谐”函数.

（1）判断函数，是否是“和谐”函数；（只需写出结论）

（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为，若不是“和谐”函数，求的最小值.

（3）若函数是“和谐”函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是“和谐”函数，不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）且，且

【解析】

（1）根据“和谐”函数的定义即可判断，是否是“和谐”函数.

（2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.

（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可.

（1）由题知：是“和谐”函数，

不是“和谐”函数.

（2）的最小值为.

因为是以为最小正周期的周期函数，所以.

假设，则，所以，矛盾.

所以必有，

而函数的周期为1，且显然不是“和谐”函数，

综上，的最小值为1.

（3）当函数是“和谐”函数时，

若，则显然不是“和谐”函数，矛盾.

若，则，

所以在，上单调递增，

此时不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不会出现的情形，

所以此时不是“和谐”函数.

当时，设，

所以，所以有，其中，

当时，

因为，所以，

所以.

当时，，

因为，所以，

所以.

记，综上，我们可以得到“且，且”.