【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的方程为,设AB是过椭圆C中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上与O不重合的点.
(1)求以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程;
(2)若,当点A在椭圆C上运动时,求点M的轨迹方程;
(3)记M是l与椭圆C的交点,若直线AB的方程为,当
面积取最小值时,求直线AB的方程;
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据椭圆方程确定双曲线方程的,
,
即可求出双曲线方程;
(2)设,根据
,
建立
,
的关系即可求出点M的轨迹方程;
(3)根据题设条件,建立关于斜率
的表达式,利用面积最小值求出斜率
,进而求出直线AB的方程.
(1)由题知椭圆C的方程为,
则椭圆的,
,
,
所以椭圆的左焦点和左顶点的坐标分别为,
,
设双曲线方程为,
根据题中条件有双曲线方程的,
,
,
所以双曲线方程为.
(2)设,
,
由题知,
,
有,
因为点在椭圆上,
有,
所以点的轨迹方程为
.
(3)由题知,
,
联立,
解得,
,
所以,
,
因为是线段AB的垂直平分线,
所以,
联立,
解得,
,
所以,
所以,
整理得,
当且仅当时等号成立,
等号成立时面积最小,即,
所以当面积取最小值时,直线AB的方程为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着现代社会的发展,我国对于环境保护越来越重视,企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统,并制定如下方案:每年企业的环境监测费用预算定为1200万元,日常全天候开启3套环境监测系统,若至少有2套系统监测出排放超标,则立即检查污染源处理系统;若有且只有1套系统监测出排放超标,则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测,且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标,也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为,且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
(1)当时,求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;
(2)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用),除运行费用外,所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施,问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)?并说明理由.
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【题目】已知曲线上任意一点
到直线
:
的距离是它到点
距离的2倍;曲线
是以原点为顶点,
为焦点的抛物线.
(1)求,
的方程;
(2)设过点的动直线与曲线
相交于
,
两点,分别以
,
为切点引曲线
的两条切线
,
,设
,
相交于点
.连接
的直线交曲线
于
,
两点.
(i)求证:;
(ii)求的最小值.
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【题目】动圆与
相外切,与
相内切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(2)是动圆
的半径最小时的圆,倾斜角为
且过点
的直线l与
相切,与轨迹
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
为直线
的倾斜角),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的直角坐标方程,并求
时直线
的普通方程;
(2)直线和曲线
交于
、
两点,点
的直角坐标为
,求
的最大值.
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【题目】为做好创建国家生态文明单位的需要,某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工,对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查(满分100分),被抽取的员工的评分结果如右表:
(1)若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名,在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下,求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率;
(2)用样本的频率分布估计总体的概率分布,若从甲企业的所有员工中,再随机抽取4名员工进行评分细节调查,记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为,求
的分布列与数学期望.
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【题目】已知抛物线经过点
,过点
的直线
与抛物线
有两个不同的交点
,且直线
交
轴于点
,直线
交
轴于点
.
(1)求直线的斜率的取值范围;
(2)设为原点,
,求证:
为定值.
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