Question

【题目】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点．

（1）求直线的斜率的取值范围；

（2）设为原点，，求证:为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）求证见解析

【解析】

（1）先求出抛物线方程，设出直线的方程，由直线与抛物线有两个交点得斜率的范围，还要考虑直线与轴相交可得，最终可得所求范围；

（2）设，由韦达定理得，写出直线方程，求出点横坐标，表示出，同理得，然后计算可得．

（1）由已知，，∴抛物线的方程为，

设直线的方程为，代入抛物线方程得，即.

由于有两个交点，则，即或；

又由于直线与轴有交点，所以直线不过点和点，所以.综上，斜率的取值范围为.

（2）设点，根据韦达定理知，，直线的方程为，令，知，

则，同理:.

那么.