Question

（2012•密云县一模）若定义在[-2010，2010]上的函数f（x）满足．对于任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，且x＞0时，有f（x）＞2011，f（x）的最大值，最小值分别为M，N，则M+N的值为（　　）

A．2011

B．2010

C．4022

D．4010

Answer 1

分析：构造函数：g（x）=f（x）-2011，可得函数g（x）是奇函数，且在[-2010，2010]上是增函数．由此可得g（x）最大值为g（2010）=m，则最小值为g（-2010）=-m，再结合f（x）与g（x）的关系，不难得到f（x）的最大值与最小值的和M+N．

解答：解：令g（x）=f（x）-2011，由已知条件
对任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，
∴f（x₁+x₂）-2011=[f（x₁）-2011]+[f（x₂）-2011]，
可得g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂）
∵x＞0时，有f（x）＞2011，∴x＞0时，g（x）＞0
令x₁=x₂=0，可得g（0）=0
 令x₁=x，x₂=-x，可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，
所以 g（-x）=-g（x），得 g（x）是奇函数
∵g（x₁）-g（x₂）=g（x₁）+g（-x₂）=g（x₁-x₂）
∴当x₁＞x₂时，g（x₁-x₂）＞0，得g（x₁）＞g（x₂），所以g（x）是[-2010，2010]上的增函数
由此可得 g（x） 最大值为g（2010）=m，则最小值为g（-2010）=-m
因此，由f（x）=g（x）+2011 得 f（x） 最大值为M=m+2011，最小值为-m+2011，
所以 M+N=m+2011+（-m）+2011=4022
故答案为：C

点评：本题给出抽象函数，通过讨论它的奇偶性和单调性，求函数最大最小值的和．考查了函数单调性与奇偶性相综合的问题的理解，属于中档题．