Question

（2012•密云县一模）已知函数f(x)=

3

cos2x+2sinx•sin(x+

π

2

)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，最大值以及取得最大值时x的集合．
（Ⅱ） 若A是锐角三角形△ABC的内角，f（A）=0，b=5，a=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（ I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

3

），由此求得它的周期．令 2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，解得x的值，可得函数的最大值以及取得最大值时x的集合．
（ II）由f（A）=0求得A的值，再由b=5，a=7以及余弦定理求得c的值，由△ABC的面积等于S△ABC=

1

2

bc•sinA，运算求得结果．

解答：解：（ I）∵f(x)=

3

cos2x+2sinx•sin(x+

π

2

)=

3

cos2x+2sinx•cosx
=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)，…（4分）
∴f（x）的最小正周期是π．…（5分）
令 2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，解得 x=

π

12

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的最大值为2，此时，x值的集合为 {x|x=kπ+

π

12

，k∈z}．…（7分）
（ II）∵f(A)=sin(2A+

π

3

)=0，0＜A＜

π

2

∴A=

π

3

．…（9分）
在△ABC中，a²=b²+c²-2bc．cosA，c²-5c-24=0，解得c=8，或c=-3（舍），…（11分）
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=10

3

．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．