Question

【题目】已知椭圆的焦距与短轴长相等,长轴长为,设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A、B两点.

(1)求椭圆M的方程；

(2)求证:

(3)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C、D,求四边形ABCD面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）16

【解析】

（1）根据条件可知，再根据，求解方程；

（2）分和两种情况求弦长，当时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系， ，，代入弦长公式，再根据证明；

（3）由题意可知四边形的面积是，根据，代入弦长公式可得，再根据三角函数求函数的最小值.

（1）由题意可知，，

解得： ，

椭圆方程是： ；

（2）当时， ，此时，满足

当时，设直线的斜率为，

设直线的方程为，

由 得

设

， ，

，

，代入上式，

，

综上可知：.

（3）过右焦点且与直线垂直的直线交椭圆于两点，

， ，

，

，

当时，的最小值是.

而四边形的面积是，

四边形的面积的最小值是.