Question

【题目】如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，点M在线段PD上．
（1）求证：AB⊥PC．
（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AE⊥BC

∵AE=BE=EC=2 ，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴AB⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴AB⊥PA

∵AC∩PA=A，

∴AB⊥平面PAC，

∴AB⊥PC

（2）解：设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，

由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，

∴MN⊥AC，

∵NG⊥AC，MN∩NG=N，

∴AC⊥平面MNG，

∴AC⊥MG，

∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°

设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND= x，

可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，

由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角

在△ABM中，AB=4，AM= PD= ，BM=3 ，

∴cos∠ABM= ，

∵∠BHA与∠ABM互余，

∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为 ．

【解析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值．