Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA₁=2，P、Q、M分别是棱BB₁、CC₁、B₁C₁的中点，AB⊥AQ．
（1）求证：AC⊥A₁P；
（2）求证：AQ∥面A₁PM；
（3）求AQ与面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）要证AC⊥A₁P只需证明AC垂直A₁P所在的平面AA₁B₁B即可，只需证明垂直平面AA₁B₁B内的两条相交直线AB，AA₁，即可．
（2）延长线PM交CC₁于J，证明AQ平行面A₁PM内的直线A₁J，就证明AQ∥面A₁PM；
（3）说明∠A₁JM就是AQ与面BCC₁B₁所成角，解三角形A₁JM，求AQ与面BCC₁B₁所成角的大小．

解答：解：（1）由已知AA₁⊥AB，又AB⊥A₁Q，
∵AB⊥面AA₁C₁C，
∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA₁，
∴AC⊥面AA₁B₁B，
∴AC⊥A₁P（5分）
（2）延长线PM交CC₁于J．
∵P，M是棱B₁B，B₁C₁中点，
∴△B₁PM≌△C₁MJ，
∴C₁J=1．
在面AA₁C₁C中由AA₁∥QJ，
∵CQ=1，
∴AA₁=QJ．
∴四边形A₁AQJ是平行四边形．
∴AQ∥A₁J，
∴AQ∥面A₁PM．（10分）
（3）M是等腰三角形A₁B₁C₁中点，A₁M⊥B₁C₁，
又由已知A₁M⊥CC₁，∴A₁M⊥面BCB₁C₁，又A₁J∥AQ，
∴∠A₁JM就是AQ与面BCC₁B₁所成角．
A1M=

2

2

，A1J=

2

，∴sin∠A1JM=

1

2

，∴∠A1JM=30°
即AQ与面BCC₁B₁所成角为30°（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．