Question

（2008•盐城一模）设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足

PF1

•

PF2

=0，则

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值为

2

．

Answer 1

分析：根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a²+m²=2c²，再根据离心率的定义化简整理即可得到

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值．

解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∵

PF1

•

PF2

=0∴

PF1

⊥

PF2

，可得∠F₁PF₂=90⁰，
故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①平方+②平方，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
将④代入③，化简得a²+m²=2c²，即

1 c 2

a2

+

1 c 2

m2

=2，可得

1

e12

+

1

e22

=2
因此，

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

=

1

e12

+

1

e22

=2
故答案为：2

点评：本题给出双曲线与椭圆有公共的焦点，在它们的一个交点对两个焦点所成角为直角的情况下求它们离心率的平方倒数和．着重考查了椭圆和双曲线的定义、标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．