Question

在数列{an}(n∈N*)中，a₁=1，前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若bn=4(

an

n

)2，求数列{（-1）ⁿb_n}的前n项和T_n；
（3）求证：

1+a1

a1

•

1+a2

a2

•…•

1+an

an

＜9．

Answer 1

分析：（1）方法一：由已知变形得

Sn+1

Sn

=

n+3

n

(n∈N*)，利用“累乘求积”即可得出；
方法二：利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

得到a_n的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；
（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的T_n，进而即可得出n为奇数时的T_n；
（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．

解答：解：（1）方法1：∵

Sn+1

Sn

=

n+3

n

(n∈N*)，且S₁=a₁=1，
∴当n≥2时，Sn=S1•

S2

S1

•

S3

S2

•…•

Sn

Sn-1

=1×

4

1

×

5

2

×

6

3

×…×

n+2

n-1

=

n(n+1)(n+2)

6

，且S₁=1也适合．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

，且a₁=1也适合，∴an=

n(n+1)

2

(n∈N*)．
方法2：∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，∴（n-1）S_n-（n+2）S_n-1=0，
两式相减，得n（S_n+1-S_n）=（n+2）（S_n-S_n-1），即na_n+1=（n+2）a_n，即

an+1

an

=

n+2

n

(n≥2)．
又∵可求得a₂=3，∴

a2

a1

=3也适合上式．综上，得

an+1

an

=

n+2

n

(n∈N*)．
当n≥2时，an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an

an-1

=1×

3

1

×

4

2

×

5

3

×…×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

，且a₁=1也适合，
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N*)．
（2）bn=(n+1)2．设cn=(-1)nbn=(-1)n(n+1)2．
当n为偶数时，∵cn-1+cn=(-1)n-1•n2+(-1)n•(n+1)2=2n+1，
∴Tn=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(cn-1+cn)=5+9+13+…+(2n+1)=

n 2 [5+(2n+1)]

2

=

n(n+3)

2

．
当n为奇数（n≥3）时，Tn=Tn-1+cn=

(n-1)(n+2)

2

-(n+1)2=-

n2+3n+4

2

，且T₁=c₁=-4也适合上式．
综上：得Tn=

- n2+3n+4 2 (n为奇数) n(n+3) 2 (n为偶数)

．
（3）令f（x）=x-ln（1+x）．
当x＞0时，∵f′(x)=1-

1

1+x

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．
令x=

1

ai

(i=1，2，…，n)，得ln(1+

1

ai

)＜

1

ai

=

2

i(i+1)

=2(

1

i

-

1

i+1

)，
∴

n

i=1

ln(1+

1

ai

)＜2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2，
∴ln[(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)]＜2，
∴

1+a1

a1

•

1+a2

a2

•…•

1+an

an

＜e2＜9．

点评：数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．