Question

已知a，b＞0，a+b=1，则

a+1

+

b+1

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用导数或基本不等式的性质即可得出．

解答：解：方法一：∵a，b＞0，a+b=1，∴b=1-a，0＜a＜1，∴

a+1

+

b+1

=

a+1

+

2-a

．
令f（a）=

a+1

+

2-a

，a∈（0，1）．
则f^′（a）=

1

2 a+1

-

1

2 2-a

=

2-a - a+1

2 a+1 2-a

=

1-2a

2 a+1 2-a ( a+1 + 2-a )

，
令f^′（a）=0，则a=

1

2

．
当0＜a＜

1

2

时，f^′（a）＞0，函数f（a）单调递增；当

1

2

＜a＜1时，f^′（a）＜0，函数f（a）单调递减．
∴当a=

1

2

时，函数f（a）取得最大值f(

1

2

)=

1 2 +1

+

2- 1 2

=

6

．
又f（0）=1+

2

=f（1），∴当a∈（0，1）时，1+

2

＜f(a)≤

6

．
因此

a+1

+

b+1

的取值范围是(1+

2

，

6

]．
方法二：求最大值．
∵a，b＞0，a+b=1，∴(

a+1

+

b+1

)2≤2（a+1+b+1）=6，∴

a+1

+

b+1

≤

6

，当且仅当a=b=

1

2

时取等号．
即

a+1

+

b+1

的最大值为

6

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、基本不等式求函数的最值是解题的关键．