Question

（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，

d

=(1，

2

)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求

DA

•

DB

的值；
（3）对于双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线方程，利用D（1，0）是它的一个顶点，

d

=(1，

2

)是它的一条渐近线的一个方向向量，可得几何量，即可求双曲线C的方程；
（2）分类讨论，直线方程与双曲线方程联立，利用向量知识，即可得出结论；
（3）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，由EM⊥EN，可得结论．

解答：（1）解：设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则a=1，
又

b

a

=

2

，得b=

2

，所以，双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．
（2）解：当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），

DA

=(-4，4)，

DB

=(-4，-4)，所以

DA

•

DB

=0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），
由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6k2

2-k2

，x1•x2=

-9k2-2

2-k2

，
故

DA

•

DB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1=(k2+1)

-9k2-2

2-k2

+(3k2-1)

6k2

2-k2

+9k²+1=0．
综上，

DA

•

DB

=0．
（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，
由

x=my+t b2x2-a2y2=a2b2

，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

-2b2mt

b2m2-a2

，y1y2=

b2(t2-a2)

b2m2-a2

，分
由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)

b2(t2-a2)

b2m2-a2

-m(t-a)

2b2mt

b2m2-a2

+(t-a)2=0，
化简得，t=

a(a2+b2)

a2-b2

或t=a（舍），
所以，直线MN过定点（

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．